1. Sabemos que en Lógica de Clases cabe distinguir cuatro tipos fundamentales de enunciado.
2. Desde tiempos de Aristóteles, interesó examinar ciertas relaciones lógicas existentes entre estos cuatro tipos de enunciados. Asi, se preguntaba Aristóteles en su obra Liber de Interpretatione : ¿Es posible que sean verdaderos a la vez un enunciado universal afirmativo y un enunciado universal negativo que tengan los mismos predicados?.
3. Aristóteles y la Tradición elaboraron un Cuadro en el que quedaron reflejadas las relaciones entre estos 4 modelos básicos de enunciado.
4. Pasaremos a analizar tal Cuadro, aunque señalando el siguiente matiz: tradicionalmente se consideraba que las 4 formas más simples de enunciados eran los predicados monádicos siguientes:

   Todo  S es P   (A)
   Ningún S es P  (E)
   Algún S es P   (I)
   Algún S no es P(O)
   

5. De todos modos, en la Lógica del Predicados actúal se considera que existen 4 formas todavía más Simples que las anteriores.

1. Contradicción
2. Subalternación
3. Contrariedad
4. Subcontrariedad

• Las relaciones de Contradicción se producen entre las Proposiciones Universales afirmativas (A) y las Proposiciones particulares negativas (E); asi como entre las Proposiciones Universales negativas (E) y las Proposiciones particulares afirmativas (I)
• Parece evidente que un enunciado de tipo A es contradictorio con un enunciado de tipo O. Es decir, si afirmamos que es verdad que Todo x es P ["x (Px)] sería contradictorio afirmar que tambien es verdad que Algun x no es P [$x (¬Px)]
• Del mismo modo, parece evidente que un enunciado de tipo E es contradictorio con un enunciado de tipo I. Es decir, si afirmamos que es verdad que Ningún x es P ["x (¬Px)] sería contradictorio afirmar que tambien es verdad que Algún x es P [$x (Px)]
• Debemos tener en cuenta, además, dos cuestiones, en relación con las relaciones de contradicción entre predicados:
  1. La Relación es simétrica, es decir, que si el enunciado A es contradictorio con el enunciado O, tambien el enunciado O lo es con A. Y del mismo modo, si el enunciado E es contradictorio con el enunciado I, tambien el enunciado I es contradictorio con E.
  2. Decir que un enunciado es contradictorio de otro es como decir que equivale a la Negación de ese otro.

• Las relaciones de Subalternación se producen entre las Proposiciones Universales afirmativas (A) y las Proposiciones particulares afirmativas (I); asi como entre las Proposiciones Universales negativas (E) y las Proposiciones particulares afirmativas (O)
• Las relaciones de verdad entre los enunciados subalternos son las siguientes:
  1. Si un enunciado universal afirmativo ["x (Px)] es verdadero, entonces será tambien verdadero el enunciado particular afirmativo [$x (Px)]
  2. De igual modo, si es verdadero el enunciado universal negativo ["x (¬Px)]tambien será verdadero el enunciado particular negativo [$x (¬Px)]
  3. Ahora bien, estos dos esquemas solamente serán válidos en el caso de que se excluyan los universos vacíos del discurso. Algo que no sucede, por ejemplo, en los Diagramas de Venn
  4. Por otro lado, si un enunciado particular afirmativo [$x (Px)] es falso, entonces tambien será falso el subalterno A ["x (Px)]. Y si es falso el enunciado particular negativo [$x (¬Px)] tambien sera falso el subalterno E ["x (¬Px)]
  5. Las relaciones de Subalternación plantean Problemas interesantes de analizar.
  Ejercicios

1. Sabemos que si el enunciado particular afirmativo es falso:[no es cierto que algún X es P] [Ø $x (Px)] ello significa que [por las relaciones de contradicción] equivale a un enunciado universal negativo:[Ningún X es P] ["x (¬Px)].
2. Ahora bien, [Ningún X es P] ["x (¬Px)] es lo contrario de [Todo X es P] ["x (Px)], y sabemos que dos enunciados contrarios no pueden ser ambos verdaderos.
3. Por lo tanto, si un enunciado particular afirmativo es falso [No es cierto que algún X es P] [Ø $x (Px)], el enunciado universal relacionado con él, por subalternación, ["x (Px)] no puede ser otra cosa que falso, ya que su contrario ["x (¬Px)] es verdadero por contradicción.
4. Por otro lado, sabemos que si un enunciado particular negativo es falso: [No es cierto que algún X no es P][Ø $x (¬Px)], ello significa [por las relaciones de contradicción] que es equivalente a [Todos los X son P] ["x (Px)].
5. Ahora bien, el enunciado [Todo X es P] ["x (Px)] es lo contrario del enunciado [Ningún X es P] ["x (¬Px)]. Y sabemos que dos enunciados contrarios no pueden ser ambos verdaderos a la vez.
6. Por lo tanto, si un enunciado particular negativo es falso [No es cierto que algún X no es P] [Ø $x (Px)], entonces su enunciado universal relacionado por subalternación [Ningún X es P] "x (¬Px)], no puede ser otra cosa que falso, ya que lo que es verdadero, por contradicción, es su contrario [Todo X es P] ["x (Px)].

Todos los filósofos presocráticos ejercieron
como tales antes que Sócrates

Algunos filósofos presocráticos ejercieron
como tales antes que Sócrates

Todos los sacerdotes son gnósticos

Algunos sacerdotes son gnósticos

No pueden ser verdaderos ambos a la vez, aunque sí podrían ser
ambos falsos

1. De la verdad de un enunciado universal afirmativo (A), cabe inferir la falsedad del enunciado universal negativo correspondiente (E).
2. De la verdad de un enunciado universal negativo (E), cabe inferir la falsedad del enunciado universal afirmativo correspondiente (A)
3. Su formalización sería la siguiente: "x (Px) « Ø "x (¬Px) "x (¬Px) « Ø "x (Px)
4. Notar que la validez de ambos esquemas de contrariedad puede apoyarse en la validez de los Esquemas de subalternación