Libro II del Ensayo sobre el entendimiento humano
Capítulo XVI

IDEA DEL NÚMERO

1. El número es la idea más simple y universal
Entre todas las ideas que tenemos, como ninguna es sugerida a la mente mediante otra vía que la idea de unidad o de uno, ninguna hay, por tanto, que sea más simple que ésta. Esta idea no tiene ni sombra de variedad o composición en ella; todo objeto en el que se emplean nuestros sentidos; toda idea que hay en nuestro entendimiento; todo pensamiento de nuestra mente, nos trae esta idea. Y, por tanto, es la más íntima en nuestros pensamientos, al igual que es, por su acuerdo con todas las demás cosas, la idea más universal que tenemos. Porque el número se aplica a los hombres, a los ángeles, a las acciones y a los pensamientos y a todo lo que pueda existir o imaginarse.
2. Los modos del número se realizan por adición
Mediante la repetición de esta idea en nuestras mentes, y mediante la adición de repeticiones, llegamos a la idea compleja de sus modos. De esta manera, adicionando uno a uno, adquirimos la idea compleja de par; poniendo doce unidades juntas, llegamos a la idea compleja de una docena; y de la misma manera, llegamos a las ideas de una veintena, un millón, o cualquier otro número.
3. Cada modo es distinto
Los modos simples del número son, entre todos los demás, los más distintos, pues la menor variación, que es la unidad, hace que cada combinación sea tan claramente diferente de la que se aproxima más, corno la más remota; siendo el número dos tan distinto del uno, como del doscientos, y siendo la idea de dos tan distinta de la idea de tres, como la magnitud de toda la tierra lo es de un ardite. Pero no sucede igual en los otros modos simples, en los que no resulta tan fácil, ni tal vez posible, el distinguir entre dos ideas que se acercan, y, sin embargo, son diferentes en realidad. Pues ¿quién querrá mostrar la diferencia que hay entre el blanco de este papel y el del grado siguiente? O ¿quién puede tener ideas distintas de cada uno de los menores excesos que hay en la extensión?
4. Por tanto, la demostración en los números es la más precisa
La claridad y distinción de cada modo de número respecto a los otros, incluso a aquellos que están más próximos, me lleva a pensar que las demostraciones en los números, si bien no son más evidentes y exactas que en la extensión, son, sin embargo, más generales en su uso y más determinadas en su aplicación. Porque las ideas de los números son más precisas y distinguibles que en la extensión, donde cada igualdad y exceso no son tan fáciles de observar y medir; porque nuestros pensamientos no pueden llegar en el espacio a ninguna pequeñez determinada, más allá de la cual no pueden llegar más adelante, como es en el caso de la unidad; y, por tanto, la cantidad o proporción de cualquier exceso mínimo no puede ser descubierta, lo cual resulta claro respecto al número, donde, como ya se ha dicho, noventa y uno es tan distinguible de noventa como de novecientos, aunque noventa y uno sea el grado inmediatamente siguiente a noventa. Pero no es de la misma manera en la extensión, donde todo lo que sea más justo que un pie o una pulgada, no resulta distinguible del patrón de un pie o una pulgada; y en las líneas que aparecen como de igual longitud, unas pueden ser más largas que otras por partes innumerables; y no hay nadie que pueda designar un ángulo que sea el siguiente más grande que un ángulo recto.
5. Los nombres son necesarios para los números
Como ya se ha dicho, repitiendo la idea de unidad y uniéndola a otra unidad, fabricamos una idea colectiva designada por el número dos. Y quien pueda hacer esto y continuar de la misma manera, añadiendo una unidad a la última idea colectiva que tenía de cualquier número, y dándole un nombre, podrá contar, o tener ideas de varias colecciones de unidades, distinguidas las unas de las otras, en tanto que tenga una serie de nombres para continuar aplicándolos a los números, y una memoria capaz de retener esa serie con sus diversos nombres. Pues toda numeración no consiste sino en añadir una unidad más, y en dar al todo resultante, como comprendido en una idea, un nombre nuevo o distinto o un signo, con el cual se pueda conocer entre los que están antes y después, y distinguir de toda multitud de unidades mayor o menor. De manera que quien pueda añadir uno a uno, y de la misma manera a dos, y continuar así con su relación llevando consigo los distintos nombres que pertenecen a cada progresión, y así, sustrayendo una unidad a cada colección, pueda retroceder y hacerlas más pequeñas, será capaz de todas las ideas de números comprendidas en el ámbito de su lenguaje, o para las que tiene nombres, aunque tal vez no lo sea de otra cosa. Porque, como los distintos modos simples de los números no son en nuestra mente sino muchas combinaciones de unidades, que no tienen variedad, ni son capaces de cualquier otra diferencia sino el más o el menos, los nombres o signos para cada combinación distinta parecen más necesarios que para cualquier otra clase de ideas. Porque sin tales nombres o signos difícilmente podríamos utilizar correctamente los números en los cómputos y especialmente donde la combinación se construye con una gran multitud de unidades; la cual, reunida sin un nombre o signo para distinguir esa colección precisa, difícilmente podría dejar de convertirse en una amalgama confusa.
6. Otra razón por la que es necesario dar nombres a los números
Pienso que ésta es la razón por la que algunos americanos con los que he hablado (los cuales tenían suficiente agudeza y raciocinio) no podían, como lo hacemos nosotros, contar de ninguna manera hasta mil, ni tenían ninguna idea distinta de ese número, aunque pudieran computar muy bien hasta veinte. Porque como su idioma es escaso y sólo se acomoda a las escasas necesidades de una vida pobre y sencilla, no conocedora ni del comercio ni de las matemáticas, no tenían palabras con las que significar el número mil; de manera que cuando conversé con ellos sobre estos números mayores, éstos me indicaban los cabellos de su cabeza para expresar una gran multitud que no podían simbolizar con un número; y esta incapacidad supongo que procede de su falta de nombre. Los tupinambos carecían de nombres para los números superiores al cinco, y cuando querían referirse a algún número más alto lo hacían mostrando sus dedos, y los dedos de los otros que estaban presentes. Y no dudo que nosotros mismos podríamos nombrar en palabras mucho más allá de lo que usualmente hacemos otros números, si pudiéramos encontrar algunas denominaciones para significarlos, en vez de la manera que ahora tenemos para nombrarlos, por medio de millones, de millones de millones, etc., y que difícilmente nos permite continuar más allá de dieciocho, o a lo sumo de veinticuatro progresiones decimales, sin confusión. Pero para mostrar hasta dónde los distintos nombres conducen a computar correctamente, o a tener ideas útiles de los números, permítaseme representar las cifras siguientes en una línea continuada, como si fueran los signos de un solo número:

La manera normal de nombrar este número en inglés sería la repetición frecuente de millones, de millones, de millones, de millones, de millones, de millones, de millones, de millones (que es la denominación de las segundas seis cifras). Mediante esta manera, resultará muy difícil tener algunas nociones que distingan este número. Pero, dándole a cada seis cifras una denominación nueva y ordenada, esta denominación, y tal vez una gran parte de otras cifras en progresión, tendrían más fácilmente la posibilidad de ser contadas, y las ideas de ellas serían a la vez que más fáciles para nosotros, más claras para la comprensión de los demás; el que esto sea o no así, es algo que dejo a la consideración de los otros. Aquí lo he mencionado solamente para mostrar cuán necesarios son los nombres distintos para la numeración, sin pretender introducir otros de mi invención.
7. Por qué los niños no aprenden los números antes
De esta manera los niños, bien por falta de nombres con los que señalar las distintas progresiones numéricas, bien por carecer de la facultad de reunir ideas separadas para formar otras complejas, y darles un orden regular para retenerlas en la memoria, lo cual resulta necesario para contar, el hecho es que no comienzan a numerar a una edad muy temprana, ni pueden avanzar con rapidez y seguridad hasta que ha pasado algún tiempo en el que han hecho un acopio considerable de otras ideas; por lo que con frecuencia se observa que discuten y razonan correctamente, y que tienen concepciones muy claras de otras cosas diferentes, antes de poder negar a veinte. Y algunos, a causa de los defectos de su memoria, no pudiendo retener las distintas combinaciones de números en sus órdenes respectivos, con sus nombres, ni pudiendo retener tampoco las relaciones que tienen entre sí, son incapaces durante toda su vida de contar o continuar cualquier serie modesta de números. Porque, el que quiera contar hasta veinte o tener una idea de ese número, deberá conocer que el diecinueve va antes, y los distintos nombres o signos de todos los números precedentes, en el orden en que están, porque si esto falla, se produce un vacío, la cadena se rompe, y no puede continuar más adelante la progresión numérica. De esta manera, para contar correctamente, se necesita que la mente distinga cuidadosamente dos ideas, que únicamente difieren entre sí por la adición o sustracción de una unidad. También se necesita que retenga en la memoria los nombres o signos de las distintas combinaciones que van desde la unidad hasta el número, y que no lo hagan confusamente, y sin ningún método, sino en el orden exacto en que los números siguen los unos a los otros. Sí se yerra en uno de estos dos presupuestos, todo el asunto de la numeración se verá perturbado, y sólo quedará la idea confusa de multitud, sin llegar a las ideas necesarias que se requieren para una numeración diferenciada.
8. El número mide todo lo mensurable
Otra cosa más se puede observar en el número, y es que lo que la mente utiliza para medir todas las cosas que son mensurables por nosotros, y que principalmente es la expansión y la duración; y nuestra idea de infinitud, incluso cuando los aplicamos a estos conceptos, parece no ser sino la infinitud del número. Porque ¿qué son nuestras ideas de eternidad e inmensidad sino la adición repetida de ciertas ideas de partes de duración y expansión imaginadas, a partir de la infinitud del número, en el cual no podemos llegar al fin de la adición? Porque el número, entre todas nuestras ideas, es la que nos provee de un bagaje inagotable mayor, lo cual resulta obvio para todo el mundo. Y porque un hombre, aunque reúna en una suma el número tan grande como lo desee, esa multitud, por muy grande que parezca, en nada impide la facultad de seguir adicionando, ni la aproxima al final de la posibilidad de ampliación numérica, pues todavía quedará tanto por añadir como si no se hubiera tomado nada. Y esta adición ilimitada, o adicionabilidad (si se prefiere este término) de números, me parece que es tan obvia para la mente que nos proporciona la más clara y distinta idea de la infinitud, sobre lo que trataremos, con mayor detenimiento, en el capítulo siguiente.